Persamaan Diferensial Orde II

1. PDB Orde II

• Bentuk umum : y² + p(x)y¢ + g(x)y = r(x)
  p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen,sebaliknya disebut non homogen.

• Persamaan Differensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum  :  y²+ ay¢ + by = 0
  dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

    2. Solusi Homogen

Diketahui:
                 y²+ ay¢ + by = 0
Misalkan y=erx
Persamaannya berubah menjadi r2 + ar + b = 0, sebuah persamaan kuadrat.
Jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu:

• Akar real berbeda (r1,r2; dimana r1¹r2) Memiliki solusi basis y1 = er1 x dan y2 = er2 x  dan mempunyai solusi umum :

               y = C1er1 x + C2er2 x

• Akar real kembar (r1,r2; dimana r = r1=r2) Memiliki solusi basis y1= er x dan y2 =x er x dan mempunyai solusi umum :

             y = C1er x + C2 x er x

• Akar kompleks kojugate (r1 = u + wi, r2 = u – wi) Memiliki solusi basis y1 = eux cos wx; dan        y2 = eux sin wx dan mempunyai solusi umum :

            y = eux ( C1cos wx + C2 sin wx )

Contoh soal


1. y² + 5y¢ + 6y = 0
    Persamaan karakteristiknya: ( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0 r1 = -2 atau r2 = -3
    maka solusinya : y = C1e-2 x + C2e-3x.
2. y² + 6y¢ + 9y = 0
    Persamaan karakteristiknya: ( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0 r1 = r2 = -3
    maka solusinya : y = C1e-3x + C2 x e-3x.